Question

如图，正方形ABCD的边长为6，E是边BC上的一点，△ABE经过旋转后得到△ADF．
（1）旋转中心是点______；旋转角最少是______度；
（2）求四边形AECF的面积；
（3）如果点G在边CD上，且∠GAE=45°，
①试判断GE、BE、DG之间有什么样的数量关系？并说明理由．
②若BE=2，求DG的长．

Answer 1

解：（1）∵△ABE经过旋转后得到△ADF，
∴旋转中心为A，
∵四边形ABCD是正方形，
∴旋转角为∠BAD=90°；

（2）∵△ABE经过旋转后得到△ADF，
∴S_△ABE=S_△ADF，
∴S_{四边形AECF}=S_{四边形AECD}+S_△ADF=S_{四边形AECD}+S_△ABE=S_{正方形ABCD}，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴四边形AECF的面积=6²=36；

（3）①∵△ABE经过旋转后得到△ADF，
∴AE=AF，BE=DF，
∵∠GAE=45°，
∴∠GAF=45°，
∴∠GAE=∠GAF，
在△AEG和△AFG中，，
∴△AEG≌△AFG（SAS），
∴GE=GF，
∵GF=DF+DG=BE+DG，
∴GE=BE+DG；
②设DG=x，则CG=6-x，GE=x+2，CE=BC-BE=6-2=4，
在Rt△CGE中，GE²=CE²+CG²，
即（x+2）²=4²+（6-x）²，
解得x=3，
所以，DG=3．
分析：（1）根据旋转的性质，两对应边AB、AD的交点即为旋转中心，夹角为旋转角；
（2）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△ADF和△ABE全等，再根据全等三角形的面积相等可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，然后列式求解即可；
（3）①根据旋转角求出∠GAF=45°，从而得到∠GAE=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEG和△AFG全等，根据全等三角形对应边相等可得GE=GF，然后证明即可得证；
②设DG为x，表示出CG、GE、CE，然后在Rt△CGE中利用勾股定理列式进行计算即可得解．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握旋转前后的两个三角形全等是解题的关键．