Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（k，0）（k＜0）、B（3，0）两点，与y轴正半轴交于C点，且tan∠CAO=3．
（1）求此抛物线的解析式（系数中可含字母k）；
（2）设点D（0，t）在x轴下方，点E在抛物线上，若四边形ADEC为平行四边形，试求t与k的函数关系式；
（3）若题（2）中的平行四边形ADEC为矩形，试求出D的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据A的坐标，可得出OA的长，根据∠CAO的正切值可求出OC的长，也就能求出C点的坐标．然后根据A、B、C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）要想使四边形ADEC为平行四边形，AC与DE必须平行且相等．根据∠CAO的正切值可得出直线AC的斜率．也就得出了直线DE的斜率，联立直线DE和抛物线的解析式求出E点的坐标．由于AC=DE，可用E点的坐标求出DE的长，进而得出t，k的函数关系式；
（3）由于四边形ADEC为矩形，那么AD⊥AC，即直线AC与直线AD的斜率的积为-1．由此可得出t与k的函数关系式．联立（2）的关系式即可得出关于t，k的方程．可求出此时t，k的值．

解答：解：（1）∵tan∠CAO=3，A（k，0）
（k＜0），又C点在y轴正半轴上
∴C（0，-3k）
∵A（k，o），B（3，0），C（0，-3k）都在抛物线上
∴

9a+3b+c=0 k2a+kb+c=0 c=-3k

∴解得：

a=-1 b=k+3 c=-3k

∴抛物线为：y=-x²+（k+3）x-3k；

（2）∵DE∥AC，tan∠CAO=3
∴直线DE的斜率为：3，又过点D（0，t）
∴直线DE为：y=3x+t
∴联解

y=-x2+(k+3)x-3k y=3x+t

．
可得交点为E（

k+ k2-12k-4t

2

，

3k+3 k2-12k-4t

2

+t）
又∵要使ADEC为平行四边形
∴DE=AC
∴（

k+ k2-12k-4t

2

）²+（

3k+3 k2-12k-4t

2

+t）²=（

10

k）²
∵k＜0
∴t=-2k²-3k（k＜0）；

（3）∵要使平行四边形ADEC为矩形
∴∠ADE=90°．
∴k_AC•k_AD=-1．
即：3×

t-0

0-k

=-1，
∴k=3t．
又∵t=-2k²-3k
∴由

k=3t t=-2k2-3k

．
得t=-

5

9

或t=0（舍）
∴D点的坐标为（0，-

5

9

）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、平行四边形的判定、矩形的判定和性质等知识点，（2）、（3）中利用好一次函数平行和垂直时斜率的关系是解题的关键．要牢记一次函数的斜率公式：k=

y1-y2

x1-x2

．