Question

等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，且底边是6，则△ABC的面积是

3或27

．

Answer 1

分析：讨论：当圆心O在△ABC的内部，作OD⊥BC于D，根据垂径定理得BD=CD=3，再根据等腰三角形的性质得到点A在直线AD上，然后利用勾股定理可计算出OD=4，则AD=9，最后利用三角形面积公式计算△ABC的面积；当圆心O在△ABC的外部，运用同样的方法可得到AD=1，然后根据三角形面积公式计算．

解答：解：当圆心O在△ABC的内部，如图（1），
AB=AC，BC=6，
作OD⊥BC于D，则BD=CD=3，
∵AB=AC，
∴点A在直线AD上，
在Rt△OBD中，OB=5，BD=3，
∴OD=

OB2-BD2

=4，
∴AD=5+4=9，
∴S_△ABC=

1

2

×9×6=27；
当圆心O在△ABC的外部，如图（2），
与（1）可计算出OD=4，
则AD=5-4=1，
∴S_△ABC=

1

2

×1×6=3．
故答案为3或27．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了分类讨论思想的运用以及勾股定理．