Question

23、如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性质即可解答；
（2）过F作FH⊥MN于H，根据正方形及直角三角形的性质可求出△ABE≌△EHF，根据三角形全等可求出BE=HF，AB=EH，通过等量代换可得CH=FH，利用等腰直角三角形的性质即可解答．

解答：解：（1）证明：
∵四边形ABCD、AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
即∠1=∠2，∴△ADG≌△ABE；（3分）

（2）∠FCN=45°，（4分）
理由如下：
过F作FH⊥MN于H，则∠EHF=90°，
∵四边形ABCD、AEFG都是正方形，
∴AB=BC，AE=EF，∠ABE=∠AEF=90°，
∴∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠5，
又∵∠ABE=∠EHF=90°，
∴△ABE≌△EHF，（6分）
∴BE=HF，AB=EH，
∴BC=EH，
∴HC=BE，
∴在Rt△CHF中，CH=FH，
∴∠FCN=∠CFH=45°．（8分）

点评：此题比较复杂，涉及到正方形的性质及全等三角形的判定定理、直角三角形的性质，解答此题的关键是作出辅助线，利用直角三角形及全等三角形的性质解答．