Question

13．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）求证：△APQ∽△BCP；
（2）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（3）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．

Answer 1

分析 （1）根据翻转变换的性质得到∠QPC=∠D=90°，根据相似三角形的判定定理证明；
（2）根据勾股定理求出BP，根据全等三角形的性质得到DQ=QP，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）作EM⊥DC于M，延长EM交AB于F，根据直角三角形的性质得到MQ=MP，证明∴△MED≌△PFM，得到DE=MF，根据直角三角形的性质列出方程，解方程得到答案．

解答 解：（1）证明：由翻转变换的性质可知，∠QPC=∠D=90°，
∴∠APQ+∠BPC=90°，又∠BCP+∠BPC=90°，
∴∠APQ=∠BCP，又∠A=∠B=90°，
∴△APQ∽△BCP；
（2）由翻转变换的性质可知，CP=CD=5，QD=QP，
∴BP=$\sqrt{P{C}^{2}-C{B}^{2}}$=4，
∴AP=1，
设AQ=x，DQ=QP=3-x，
由勾股定理得，（3-x）²=x²+1，
解得，x=$\frac{4}{3}$，即AQ的长为$\frac{4}{3}$；
（3）作EM⊥DC于M，延长EM交AB于F，则MF⊥AB，
∵∠QPC=∠QDC=90°，M是CQ的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$QC，PM=$\frac{1}{2}$QC，
∴MQ=MP，
∵∠DMP=∠MED=∠MFP=90°，
∴∠MDE=∠PMF，
在△MED和△PFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDE=∠PMF}\\{∠MED=∠PFM}\\{MD=MP}\end{array}\right.$，
∴△MED≌△PFM，
∴DE=MF，
∴DE+EM=MF+ME=BC=3，
设EM=x，则DE=3-x，DQ=2x，
由DM=$\frac{1}{2}$QC得，$\sqrt{{x}^{2}+（3-x）^{2}}$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{5}^{2}+4{x}^{2}}$，
解得，x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{11}{2}$（舍去），
则DQ=2x=1，
∴AQ=AD-DQ=2．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．