Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，3），连接BC、AC，该二次函数图象的对称轴与x轴相交于点D．
（1）求这个二次函数的解析式、点D的坐标及直线BC的函数解析式；
（2）点Q在线段BC上，使得以点Q、D、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，若存在点Q，请任选一个Q点求出△BDQ外接圆圆心的坐标．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，3），
∴设二次函数为y=a（x+2）（x-4），把点C（0，3）代入得，a（0+2）（0-4）=3，解得a=-，
∴这个一次函数的解析式为：y=-x²+x+3；

（2）∵y=-x²+x+3=-（x-1）²+，
∴抛物线的对称轴是直x=1，
∴点D的坐标为（1，0）．　
设直线BC的解析式为；y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
∵A（-2，0），B（4，0），C（0，3），D（1，0），
∴OD=1，BD=3，CO=3，BO=4，AB=6，
∴BC===5，
如图1，当∠QDB=∠CAB时，=，=，解得QB=
过点Q作QH⊥x轴于点H，
∵OC⊥x轴，
∴QH∥CO．
∴=．解得QH=．
把y=代入y=-x+3，得x=2．
∴此时，点Q的坐标为（2，）；
如图2，当∠DQB=∠CAB时，=，即=，得QB=．
过点Q作QG⊥x轴于点G，
∵OC⊥x轴，
∴QG∥CO．
∴=．解得QH=．
把y=代入y=-x+3，得x=．
∴此时，点Q的坐标为（，）．
综上所述，点Q坐标为（2，）或（，）；

（3）当点Q的坐标为（2，）时，设圆心的M（，y）．
∵MD=MQ，
∴（-1）²+y²=（-2）²+（y-）²，解得y=，
∴M（，）．
分析：（1）设二次函数为y=a（x+2）（x-4），把点C（0，3）代入求出a的值即可得出二次函数的解析式；
（2）由（1）中抛物线的解析式求出对称轴方程，故可得出D点坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据勾股定理求出BC的长，由于相似三角形的对应角不能确定，故应分∠QDB=∠CAB和∠DQB=∠CAB两种情况进行讨论；
（3）当点Q的坐标为（2，）时，设圆心的M（，y），根据MD=MQ即可求出y的值，故可得出结论．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、抛物线的顶点坐标、相似三角形的性质等相关知识，难度较大．