Question

12．设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程$\frac{1}{2}$x²+$\sqrt{b}$x+c-$\frac{1}{2}a$=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若a，b为方程x²+mx-3m=0的两个根，求m的值．

Answer 1

分析 （1）因为方程有两个相等的实数根即△=0，由△=0可以得到一个关于a，b的方程，再结合方程3cx+2b=2a的根为x=0，代入即可得到一关于a，b的方程，联立即可得到关于a，b的方程组，可求出a，b的关系式；
（2）根据（1）求出的a，b的值，可以关于m的方程，解方程即可求出m．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}$x²+$\sqrt{b}$x+c-$\frac{1}{2}$a=0有两个相等的实数根，
∴△=（$\sqrt{b}$）²-4×$\frac{1}{2}$（c-$\frac{1}{2}$a）=0，
整理得a+b-2c=0 ①，
又∵3cx+2b=2a的根为x=0，
∴a=b ②，
把②代入①得a=c，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形；
（2）a，b是方程x²+mx-3m=0的两个根，
∴方程x²+mx-3m=0有两个相等的实数根
∴△=m²-4×（-3m）=0，
即m²+12m=0，
∴m₁=0，m₂=-12．
当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），
∴m=-12．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的根判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．