Question

在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC=AB+BD．

Answer 1

解：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图所示：

∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD，
在△AED和△ABD中，
，
∴△AED≌△ABD（SAS），
∴ED=BD，∠AED=∠B，
∵∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C，
又∠AED为△CED的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠C=∠EDC，
∴EC=ED，
∴EC=BD，
则AC=AE+EC=AB+BD．
分析：在AC上截取AE=AB，连接DE，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由AD为公共边，利用SAS可得出三角形AED与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应边相等可得ED=BD，由全等三角形的对应角相等可得∠AED=∠B，由∠B=2∠C，等量代换得到∠AED=2∠C，又∠AED为三角形ECD的外角，根据外角的性质得到∠AED等于两角之和，可得出∠C=∠EDC，根据等角对等边可得出EC=DE，等量代换得到EC=BD，由AC=AE+EC，等量代换可得证．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，以及等腰三角形的判定与性质，利用了等量代换的思想，其中全等三角形的判定方法为：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角相等等隐含条件的运用．