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    如图，Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为（-3，0）．（0，4），抛物线y=
    2
    3
    x2+bx+c经过点B，点M（
    5
    2
    ，
    3
    2
    ）是该抛物线对称轴上的一点．
    （1）b=
    -
    10
    3
    -
    10
    3
    ，c=
    4
    4
    ；
    （2）若把△AOB沿x轴向右平移得到△DCE，点A，B，O的对应点分别为D，C，E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
    （3）在（2）的条件下，连接BD．若点P是线段OB上的一个动点（点P与点O，B不重合），过点P作PQ∥BD交x轴于点Q，连接PM，QM．设OP的长为t，△PMQ的面积为S．
    ①当t为何值时，点Q，M，C三点共线；
    ②求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据点M是抛物线对称轴上的点列式求解即可得到b，把点B的坐标代入抛物线求解即可得到c；
    （2）利用勾股定理列式求出AB，再根据菱形的四条边都相等表示出点D、C的坐标，然后根据抛物线图象上点的坐标特征进行验证即可；
    （3）①利用待定系数法求一次函数解析式求出直线MC，令y=0解方程求出点Q的坐标，从而得到OQ的长，根据点D的坐标求出OD的长，再根据△OPQ和△OBD相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，即可得解；
    ②设抛物线对称轴与x轴交点为N，表示出OQ、QN，然后根据S△PMQ=S梯形MNOP-S△OPQ-S△MNQ，列式整理即可得解；根据点P在线段OB上求出t的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答．
    解答：解：（1）∵点M（
    5
    2
    ，
    3
    2
    ）是该抛物线对称轴上的一点，
    ∴-
    b
    2a
    =-
    b
    2×
    2
    3
    =
    5
    2
    ，
    解得a=-
    10
    3
    ，
    ∵点B（0，4）在抛物线上，
    ∴x=0时，c=4，
    ∴抛物线为y=
    2
    3
    x2-
    10
    3
    x+4；
    故答案为：-
    10
    3
    ；4；

    （2）∵A（-3，0），B（0，4），
    ∴OA=3，OB=4，
    由勾股定理得，AB=
    		OA2+OB2
    =
    		32+42
    =5，
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴AD=BC=AB=5，
    ∴点C（5，4），D（2，0），
    当x=5时，y=
    2
    3
    ×52-
    10
    3
    ×5+4=4，
    当x=2时，y=
    2
    3
    ×22-
    10
    3
    ×2+4=0，
    ∴点C、D都在该抛物线上；

    （3）①设直线MC的解析式为y=kx+b（k≠0），
    则
    5
    2
    k+b=
    3
    2
    5k+b=4
    ，
    解得
    k=1
    b=-1
    ，
    ∴直线MC的解析式为y=x-1，
    令y=0，则x-1=0，
    解得x=1，
    ∴点Q，M，C三点共线时，OQ=1，
    ∵D（2，0），
    ∴OD=2，
    ∵PQ∥BD，
    ∴△OPQ∽△OBD，
    ∴
    OP
    OB
    =
    OQ
    OD
    ，
    即
    t
    4
    =
    1
    2
    ，
    解得t=2，
    即t=2时，点Q，M，C三点共线；

    ②如图，设抛物线对称轴与x轴交点为N，
    则OQ=
    OP
    OB
    •OD=
    t
    4
    ×2=
    t
    2
    ，ON=
    5
    2
    ，QN=
    5
    2
    -
    t
    2
    ，
    S△PMQ=S梯形MNOP-S△OPQ-S△MNQ，
    =
    1
    2
    ×（
    3
    2
    +t）×
    5
    2
    -
    1
    2
    ×
    t
    2
    ×t-
    1
    2
    ×（
    5
    2
    -
    t
    2
    ）×
    3
    2
    ，
    =-
    1
    4
    t2+
    13
    8
    t，
    ∵点P是线段OB上的一个动点（点P与点O，B不重合），
    ∴0＜t＜4，
    ∴S与t的函数关系式为S=-
    1
    4
    t2+
    13
    8
    t（0＜t＜4）；
    ∵-
    1
    4
    ＜0，
    ∴t=-
    13
    8
    2×(-
    1
    4
    )
    =
    13
    4
    时，有最大值，
    最大值为
    -(
    13
    8
    )    2
    4×(-
    1
    4
    )
    =
    169
    64
    ，此时P（0，
    13
    4
    ）．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线的顶点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积的表示，以及二次函数的最值问题．
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    8、如图，Rt△AOB的斜边OA在y轴上，且OA=5，OB=4．将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转一定的角度，使直角边OB落在x轴的负半轴上得到相应的Rt△A′OB′，则A′点的坐标是
    （-4，3）
    ．

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    精英家教网如图，Rt△AOB的顶点A是一次函数y=-x+（k+1）的图象与反比例函数y=
    k
    x
    的图象在第四象限的交点，AB垂直x轴于B，且S△AOB=
    3
    2
    ．
    （1）求这两个函数的解析式；
    （2）求出它们的交点A、C的坐标和△AOC的面积．

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    （2）如图2，将△AOB折叠，点O恰好落在AB边上的点C处，折痕为AD2，求出D2的坐标；
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    （1）求过C、B、A三点的二次函数的解析式；
    （2）若（1）中抛物线的顶点是M，判定△MDC的形状，并说明理由．

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