Question

在平面直角坐标系中，已知点P₀的坐标为（1，0）．将点P₀绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P₁，延长OP₁到点P=2，使OP₂=2OP₁；再将点P₂绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P₃，延长OP₃到点P₄，使OP₄=2OP₃；…如此继续下去．求：（1）点P₂的坐标；（2）点P₂₀₀₃的坐标．

Answer 1

解：（1）设P₂的坐标为（x，y），作P₂M⊥x轴，垂足为M．
∵OP₂=2OP₁=2OP_O=2×1=2．∠P₂OM=30°，
∴y=MP₂=2sin30°=1，x=OM=2cos30°=，
∴P₂的坐标为（，1）；

（2）按照这样的变化规律，点P₂₃、P₂₄又回到了x轴的正半轴上，
∵2003=24×83+11，
∴点P₂₀₀₃落在x轴的负半轴上，
∵OP₃=OP₂=2，OP₅=OP₄=2²，OP₇=OP₆=2³，…
∴OP₂₀₀₃=OP₂₀₀₂=2¹⁰⁰¹，
∴点P₂₀₀₃的坐标为（-2¹⁰⁰¹，0）．
分析：（1）做P₂⊥x轴于一点，利用30°的三角函数可求得P₂的横纵坐标．
（2）应先找到各个点所在的象限或者坐标轴的位置．相邻的以奇数开头的两个点在同一直线上，可得到24个点将转一圈：即回到x轴．那么应让2003÷24=83…11可得所求的点在x轴的负半轴上．OP₂₀₀₃的长度应和OP₂₀₀₂的长度相等．∵OP₂=2¹=2；OP₄=2²=4，∴OP₂₀₀₂=2¹⁰⁰¹，进而可得点P₂₀₀₃的坐标．
点评：解决本题的关键是通过作图，分析，观察，得到相应的规律．