Question

如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交  CE、AF于G、H，
求证：①∠CEH=45°；
②GF∥DE；
③S_△BCE：S_△BCG=

3 +1

2

．

Answer 1

分析：①求出∠ABE=30°，根据AB=BE=BC求出∠AEB=75°，根据平角定义求出即可；
②求出∠DEF=∠EDG=30°，求出∠FDE=∠GED=75°，根据ASA证EGD≌△DEF，推出EF=GD，HG=HF，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理得出∠HGF=∠EDH，根据平行线的判定推出即可；
③过G作GM⊥BC于M，GN⊥DC于N，过E作ER⊥BC于R，
设GN=x，求出CG=2x，CN=

3

x=GM，DN=GM=x，DG=

2

x，DC=BC=x+

3

x，BR=CR=

1

2

（x+

3

x），ER=

3

2

（x+

3

x），根据△BCE和△BCG同底不等高，它们的面积比即是两个三角形的高之比，代入求出即可．

解答：证明：①∵△BEC是等边三角形，
∴BE=BC，∠BEC=∠EBC=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=BE，∠DAB=∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，∠AEB=∠BAE=

1

2

(180°-30°）=75°，
∴∠CEH=180°-75°-60°=45°；

②如图1，∵∠BAD=∠ADC=90°，∠BAE=75°，
∴∠EAD=15°，
同理∠ADE=15°，
∴∠DEF=15°+15°=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDB=45°，
∴∠EDG=90°-15°-45°=30°=∠DEF，
∵∠DEG=30°+45°=75°，∠EDF=30°+45°=75°，
∴∠GED=∠FDE，
在△EGD和△DEF中

∠GED=∠FDE DE=DE ∠EDG=∠DEF

∴△EGD≌△DEF，
∴EF=GD，
∵∠DEF=∠EDG=30°，
∴HE=HD，
∴EF-EH=DG-DH，
∴HG=HF，
∴∠HGF=∠HFG=

1

2

（180°-∠GHF）=

1

2

（180°-∠EHD）=∠EDH，
即∠HGF=∠EDH，
∴GF∥DE；
③如图2，过G作GM⊥BC于M，GN⊥DC于N，过E作ER⊥BC于R，
设GN=x，
∠GCN=90°-60°=30°，∠GNC=90°，
∴CG=2x，
由勾股定理得：CN=

3

x=GM，
∵正方形ABCD，∠CDB=45°=∠DGN，
∴DN=GM=x，由勾股定理得：DG=

2

x，
则DC=BC=x+

3

x，
∵△BEC是等边三角形，
∴BE=EC，
∵ER⊥BC，
∴BR=CR=

1

2

（x+

3

x），
由勾股定理得：ER=

3

2

（x+

3

x），
由图可知△BCE和△BCG同底不等高，它们的面积比即是两个三角形的高之比，
∴S_△BCE：S_△BCG=

3

2

（

3

x+x）：

3

x=

3 +1

2

．

点评：此题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，特殊角的三角函数等知识点，学生需要有比较强的综合知识．