Question

如图1，四边形ABCD是正方形，E是BC边的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于F点，则有AE=EF．
（1）如图2，若点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），上述其它条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图3，若点E在CB的延长线上时，上述其它条件不变，上述结论还成了吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图2，AE=EF，理由为：
证明：在AB上截取AM=EC，连接ME，
∵AM=EC，AB=BC，
∴AB-AM=BC-EC，即BM=BE，
∴△MBE为等腰直角三角形，
∴∠BME=45°，
∵CF为直角∠DCG的平分线，∠AME为∠BME的外角，∠ECF为∠FCG的外角，
∴∠AME=∠ECF=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
又∵∠EAM+∠AEB=90°，
∴∠EAM=∠FEC，
在△AEM和△EFC中，
，
∴△AEM≌△EFC（ASA），
∴AE=EF；
（3）如图3：AE=EF，理由为：
证明：延长AB到M，使AM=CE，连接ME，
∵AM=CE，AB=BC，
∴AM-AB=CE-BC，即BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠BME=∠ECF=45°，
又∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠MAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠MAE=∠CEF，
在△MAE和△CEF中，
，
∴△MAE≌△CEF（ASA），
∴AE=EF．
分析：（1）在AB上截取AM=EC，然后证明∠EAM=FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用“角边角”证明△AEM和△EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）延长AB到M，使AM=CE，然后证明∠BME=45°，从而得到∠BME=∠ECF，再利用两直线平行，内错角相等证明∠DAE=∠BEA，然后得到∠MAE=∠CEF，再利用“角边角”证明△MAE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是取AM=EC，然后构造出△AEM与△EFC全等是解题的关键．