Question

证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u，v满足1≤

u

v

＜

1+ 5

2

Answer 1

分析：设任意△ABC的三边长为a，b，c，不妨设a＞b＞c．若结论不成立，则可证明

a

b

和

b

c

的取值范围，然后记b=c+s，a=b+t=c+s+t，求得

c+s+t

c+s

和

1+ s c + t c

1+ s c

的取值范围，再令x=

s

c

，y=

t

c

，根据条件证明y＜1．

解答：证明：设任意△ABC的三边长为a，b，c，不妨设a＞b＞c．若结论不成立，则必有

a

b

 ≥ 

1+  5

2

①

b

c

≥

1+  5

2

．②
记b=c+s，a=b+t=c+s+t，显然s，t＞0代入得

c+s+t

c+s

≥

1+  5

2

，

1+  s c +  t c

1+  s c

≥

1+  5

2

，
令x=

s

c

，y=

t

c

则

1+x+y

1+x

≥

1+  5

2

．③
由a＜b＜c，得c+s+t＜c+s+c，即t＜c，于是．y=

t

c

＜1
由②得

b

c

= 

c+s

c

=1+x≥

1+  5

2

，④
由③，④得y≥（

1+  5

2

-1）（1+x）≥

5-1

2

• 

1+  5

2

=1，
此式与y＜1矛盾．从而命题得证．

点评：本题主要考查抽屉原理的知识点，根据假设法证明是解答本题的关键，本题难度较大．