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    如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）若矩形EFMN的顶点F、M在位于x轴上方的抛物线上，一边EN在x轴上（如图2）．设点E的坐标为（x，0），矩形EFMN的周长为L，求L的最大值及此时点E的坐标；
    （3）在（2）的前提下（即当L取得最大值时），在抛物线对称轴上是否存在一点P，使△PMN沿直线PN折叠后，点M刚好落在y轴上？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）利用交点式假设出二次函数解析式，求出即可；
    （2）利用L=2EN+2EF=4（1-x）+2（-x2+2x+3），有二次函数的最值求法得出答案；
    （3）首先设存在满足条件的点P（1，y），进而利用勾股定理得出PM2+PN2=MN2，即可得出y的值，进而得出P点坐标．
    解答：（1）解：由题意可设抛物线为y=a（x+1）（x-3），
    抛物线过点（0，3），
    ∴3=a（0+1）（0-3），
    解得：a=-1，
    抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3），
    即：y=-x2+2x+3；

    （2）解：由（1）得抛物线的对称轴为直线x=1，
    ∵E（x，0），
    ∴F（x，-x2+2x+3），EN=2（1-x），
    ∴L=2EN+2EF=4（1-x）+2（-x2+2x+3），
    化简得  l=-2x2+10，
    ∵-2＜0，
    ∴当x=0时，L取得最大值是10，
    此时点E的坐标是（0，0）；

    （3）解：由（2）得：E（0，0），F（0，3），M（2，3），N（2，0），
    设存在满足条件的点P（1，y），
    并设折叠后点M的对应点为M1，
    ∴∠NPM=∠NPM1=90°，PM=PM1，
    PG=3-y，GM=1，PH=|y|，HN=1，
    ∵∠NPM=90°，
    ∴PM2+PN2=MN2，
    ∴（3-y）2+12+y2+12=32，
    解得：，，
    ∴点P的坐标为（1，）或（1，），
    当点P的坐标为（1，）时，
    连接PC，
    ∵PG是CM的垂直平分线，
    ∴PC=PM，
    ∵PM=PM1，∴PC=PM=PM1，
    ∴∠M1CM=90°，
    ∴点M1在y轴上，
    同理可得当点P的坐标为（1，）时，点M1也在y轴上，
    故存在满足条件的点P，点P的坐标为（1，）或（1，）．
    点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理以及二次函数的最值，利用数形结合得出P点坐标特点以及∠NPM=∠NPM1=90°是解题关键．
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    如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8：
    （1）此抛物线的解析式；
    （2）如图2，若点P为所求抛物线上的一动点，试判断以点P为圆心，PB为半径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
    （3）如图2，设点P在抛物线上且与点A不重合，直线PB与抛物线的另一个交点为Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，连接PO、QO．求证：△QMO∽△PNO．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知抛物线y=-x2+b x+c经过点A（1，0），B（-3，0）两点，且与y轴交于点C．
    （1）求b，c的值．
    （2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
    （3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•南沙区一模）如图1，已知抛物线y=
    1
    2
    x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=2OA=4．
    （1）求该抛物线的函数表达式；
    （2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，以P为圆心，R为半径作⊙P，求当⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切时点P的坐标．
    （3）动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒
    		2
    个单位长度的速度向终点C运动，过点E作EG∥y轴，交AC于点G（如图2）．若E、F两点同时出发，运动时间为t．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的
    1
    3
    ？

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    如图1，已知抛物线y=ax2-2ax+b经过梯形OABC的四个顶点，若BC=10，梯形OABC的面积为18．
    （1）求抛物线解析式；
    （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，平移后的两条直线分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2-x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
    （3）如图3，设图1中点D坐标为（1，3），M为抛物线的顶点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知抛物线的顶点为A（O，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
    ①求证：PB=PS；
    ②判断△SBR的形状．

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