如图1.在平面直角坐标系中.已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A两点.与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式,(2)若点D是y轴上的一点.且以B.C.D为顶点的三角形与△ABC相似.求点D的坐标,(3)如图2.CE∥x轴与抛物线相交于点E.点H是直线CE下方抛物线上的动点.过点H且与y轴平行的直线与BC.CE分别相交于点F.G.试探究当点H运动到何处时.四边形CHEF的面积最� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx-5与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．

分析（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；
（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；
（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；
（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．

解答解：（1）∵点A（-1，0），B（5，0）在抛物线y=ax²+bx-5上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-5=0}\\{25a+5b-5=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=x²-4x-5，

（2）如图1，令x=0，则y=-5，
∴C（0，-5），
∴OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴AB=6，BC=5$\sqrt{2}$，
要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有$\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{BC}$或$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CD}$，
①当$\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{BC}$时，
CD=AB=6，
∴D（0，1），
②当$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CD}$时，
∴$\frac{6}{5\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{CD}$，
∴CD=$\frac{25}{3}$，
∴D（0，$\frac{10}{3}$），
即：D的坐标为（0，1）或（0，$\frac{10}{3}$）；

（3）设H（t，t²-4t-5），
∵CE∥x轴，
∴点E的纵坐标为-5，
∵E在抛物线上，
∴x²-4x-5=-5，
∴x=0（舍）或x=4，
∴E（4，-5），
∴CE=4，
∵B（5，0），C（0，-5），
∴直线BC的解析式为y=x-5，
∴F（t，t-5），
∴HF=t-5-（t²-4t-5）=-（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∵CE∥x轴，HF∥y轴，
∴CE⊥HF，
∴S_{四边形CHEF}=$\frac{1}{2}$CE•HF=-2（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，
当t=$\frac{5}{2}$时，四边形CHEF的面积最大为$\frac{25}{2}$．
当t=$\frac{5}{2}$时，t²-4t-5=$\frac{25}{4}$-10-5=-$\frac{35}{4}$，
∴H（$\frac{5}{2}$，-$\frac{35}{4}$）；

（4）如图2，∵K为抛物线的顶点，
∴K（2，-9），
∴K关于y轴的对称点K'（-2，-9），
∵M（4，m）在抛物线上，
∴M（4，-5），
∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），
∴直线K'M'的解析式为y=$\frac{7}{3}$x-$\frac{13}{3}$，
∴P（$\frac{13}{7}$，0），Q（0，-$\frac{13}{3}$）．

点评此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，对称性，极值的确定，解（2）的关键是分类讨论，解（3）的关键是表示出HF，解（4）的关键是利用对称性找出点P，Q的位置，是一道中等难度的题目．

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