Question

关于x的二次函数y=x²+2（m-2）x+m²-3m+3与x轴有两个交点，A（x₁，0），B（x₂，0），顶点为C，设m是不小于-1的实数．
（1）求顶点C的坐标，并说明C点在什么样的线上运动；
（2）若OA²+OB²=6，求m值；
（3）求代数式

mx12

1-x1

+

mx22

1-x2

的最大值．

Answer 1

分析：（1）先把y=x²+2（m-2）x+m²-3m+3配成顶点式得y=（x+m-2）²+m-1，即可得到顶点C的坐标；设C（x，y），则x=-m+2，y=m-1，消去m得到y=-x+1；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-2（m-2），x₁•x₂=m²-3m+3，变形x₁²+x₂²=6使之用x₁+x₂，x₁•x₂表示，然后得到关于m的方程m²-5m+2=0，解得m=

5± 17

2

；而m是不小于-1的实数且m-1＜0，即-1≤m＜1，即可得到m的值；
（3）设t=

mx12

1-x1

+

mx22

1-x2

，当m=0，t=0；当m≠0，对t通分，并且用x₁+x₂，x₁•x₂表示，可得到t=2m²-6m+2，配成顶点式得y=2（m-

3

2

）²-

5

2

，而-1≤m＜1，根据二次函数的增减性质得到当m=-1时，t的值最大，此时t=10．

解答：解：（1）y=（x+m-2）²+m-1，
∴顶点C的坐标为（-m+2，m-1），
设C（x，y），则x=-m+2①，y=m-1②，
①+②得，x+y=1，即y=-x+1，
∴C点的横纵坐标满足y=-x+1，
∴C点在直线y=-x+1上运动；

（2）∵二次函数y=x²+2（m-2）x+m²-3m+3与x轴有两个交点，A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-2（m-2），x₁•x₂=m²-3m+3，
∵OA²+OB²=6，
∴x₁²+x₂²=6，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=6，
∴m²-5m+2=0，解得m=

5± 17

2

，
又∵m是不小于-1的实数且m-1＜0，即-1≤m＜1，
∴m=

5- 17

2

；

（3）设t=

mx12

1-x1

+

mx22

1-x2

，
当m=0，t=0，
当m≠0，
t=m•

x 12(1-x2)+x22(1- x1)

(1-x1)(1-x2)

=m•

(x1+x2)2-2x1 x2-x1x2 (x1+x2 )

1-(x1+x2)+ (x1+x2)

=m•

2m3-8m2+8m-2

m2-m

=2m²-6m+2
=2（m-

3

2

）²-

5

2

，
∵-1≤m＜1，
∴当m=-1时，t的值最大，此时t=10，
所以代数式

mx12

1-x1

+

mx22

1-x2

的最大值为10．

点评：本题考查了二次函数的综合题：二次函数的顶点式、二次函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的根与系数关系的联系．也考查了代数式的变形能力．