如图.已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线.这条直线和x轴.y轴正半轴分别交于点A和点B.且OA=OB=1.这条曲线是函数的图像在第一象限的一个分支.点P是这条曲线上任意一点.它的坐标是(a.b).由点P向x轴.y轴所作的垂线PM.PN.垂足是M.N.直线AB分别交PM.PN于点E.F. (1)分别求出点E.F的坐标(用a的代数式表示点E的坐标.用b的代数式表示点F的坐标.只须写出结果.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴正半轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数

的图像在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F。

（1）分别求出点E、F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；
（2）求△OEF的面积（结果用含a、b的代数式表示）；
（3）分别计算AF与BE的值（结果用含a、b的代数式表示）；
（4）△AOF与△BOE是否一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由。

解：（1）点E（a，1-a），点F（1-b，b）；
（2）

=ab-

a（1-a）-

b（1-b）-

（a+b-1）²=

（a+b-1）；
（3）BE=

，AF=

；
（4）△AOF∽△BOE，
证明：∵OA=OB=1，
∴∠FAO=∠EBO，
∵点P（a，b）是曲线

上一点，
∴2ab=1，即AF·BE=1，
又∵OA·OB=1，
∴

，
∴△AOF∽△BOE。

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