Question

2、在锐角△ABC中，三个内角的度数都是质数，且最短边的长为1．则满足这样条件的互不全等的三角形个数为（　　）

A、1

B、2

C、3

D、多于3

Answer 1

分析：首先列举出90以内的质数，根据三角形内角和定理可知有1个角为2°，另外2角的和为178°，即可得出三角形有且仅有一个，这是一个等腰三角形，然后根据最短边的长为1，分腰为1与底为1两种情况进行讨论，据此即可解答．

解答：解：90以内的质数有：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89
质数除2以外均为奇数，
三个奇数相加亦为奇数，
而三角形内角和的度数为180，是偶数，
所以必有一个角的度数为2，不妨设∠A=2°，那么∠B+∠C=178°=89°+89°，
△ABC为锐角三角形，如果不取∠B=∠C=89°，则必有一角＞90°，与锐角矛盾
所以满足条件的三角形有且仅有一个：{2°，89°，89°}；
这是一个等腰三角形，
当腰为1时，底边远小于1（不符合题意，舍去），
当底为1时，腰长远大于1，
所以满足条件的[互不全等]的三角形有且仅有1个．
故选A．

点评：本题主要考查质数与合数，三角形的内角和定理，三角形的三边关系，熟练掌握上述定理与性质是解答本题的关键．