Question

20．已知n为正整数，若n²-96能被5n+51整除，试求n的值．

Answer 1

分析 由题意设n²-96=m（5n+51），（m是正整数），由△=（5m）²-4（-96-51m）=25m²+204m+384．，结合（5m+19）²＜25m²+204m+384＜（5m+21）²，推出25m²+204m+384=（5m+20）²，
，求出m即可解决问题．

解答 解：由题意设n²-96=m（5n+51），（m是正整数），
∴n²-5mn-96-51m=0，
∴△=（5m）²-4（-96-51m）=25m²+204m+384．
∵（5m+19）²＜25m²+204m+384＜（5m+21）²，
∴25m²+204m+384=（5m+20）²，
解得m=4，
∴n²-20n-300=0，
∴n=30或-10（舍弃），
∴n=30．

点评 本题考查因式分解的应用、整除等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，求出m的值是解题的突破口，题目比较抽象，有一定的难度．