Question

15．问题背景：如图（1），在△ABC中，已知AB=AC，BE=CF．
（1）发现问题：小华审题后发现，若连接CE，BF，则CE=BF，请说明理由；
（2）提出问题：如图（2），设CE与BF交于点O，则直线AO是BC边的垂直平分线吗？试说明理由；
（3）解决问题：在图（3）中，是各边相等，各内角也相等的正五边形ABCDE，请你只用无刻度的直尺画出图中BC边的垂直平分线．

Answer 1

分析 （1）证明△EBC≌△FCB即可；
（2）证明△EOB≌△FOC，得到OB=OC，根据线段垂直平分线的判定定理得到答案；
（3）根据点到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上作图即可．

解答 解：（1）如图1中，连接EC、BF．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△EBC和△FCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠ABC=∠ACB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△FCB，
∴CE=BF；

（2）结论：AO是BC边的中垂线，
理由：∵△EBC≌△FCB，
∴∠OEB=∠OFC，
在△EOB和△FOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEB=∠OFC}\\{∠EOB=∠FOC}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△EOB≌△FOC，
∴OB=OC，又AB=AC，
∴AO是BC边的中垂线；

（3）如图（3）：连接AC、BD交于点O，作直线EO，直线EO即为线段BC的垂直平分线．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．