Question

在长方形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ=______，PB=______（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm²？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，
∴AP=tcm，
∵AB=5cm，
∴PB=（5-t）cm，
∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，
∴BQ=2tcm；

（2）由题意得：（5-t）²+（2t）²=5²，
解得：t₁=0（不合题意舍去），t₂=2；
当t=2秒时，PQ的长度等于5cm；

（3）存在t=1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm²．理由如下：
长方形ABCD的面积是：5×6=30（cm²），
使得五边形APQCD的面积等于26cm²，则△PBQ的面积为30-26=4（cm²），
（5-t）×2t×=4，
解得：t₁=4（不合题意舍去），t₂=1．
即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm²．
分析：（1）根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度；
（2）根据勾股定理可得PB²+BQ²=QP²，代入相应数据解方程即可；
（3）根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，关键是表示出BQ、PB的长度．