Question

14．已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且tan∠ACB=$\frac{3}{2}$．
求：（1）反比例函数的解析式；
（2）点C的坐标；
（3）∠ABC的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，把A的坐标代入求出k即可；
（2）过A作AE⊥x轴于E，交BC于F，求出CF，AF，即可求出点C的坐标；
（3）把y=1代入y=$\frac{8}{x}$求出x，得出B 的坐标，求出AB和BF，解直角三角形求出即可．

解答 解：（1）设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
把A（2，4）代入得：k=8，
所以反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$；

（2）过A作AE⊥x轴于E，交BC于F，
则CF=2，
∵tan∠ACB=$\frac{3}{2}$，
∴AF=3，
∴EF=4-3=1，
∴点C的坐标为（0，1）；

（3）∵把y=1代入y=$\frac{8}{x}$得：x=8，
∴B的坐标为（8，1），
∴BF=8-2=6，
∴AB=$\sqrt{B{F}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴cos∠ABC=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{6}{3\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理，解直角三角形等知识点，能求出B、C的坐标是解此题的关键．