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(2008•雅安)已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点(0,3a),对称轴为x=1.
(1)试用含a的代数式表示b、c.
(2)当抛物线与直线y=x-1交于点(2,1)时,求此抛物线的解析式.
(3)求当b(c+6)取得最大值时的抛物线的顶点坐标.
分析:(1)根据抛物线与y轴的交点可以得到c与a的关系,根据对称轴可以得到b与a的关系;
(2)间已知点的坐标代入函数关系式并结合上题求得的系数的关系得到a、b、c的值即可求得其解析式;
(3)b(c+6)=-2a(3a+6)=-6a2-12a=-6(a+1)2+6,从而确定a的值,确定二次函数的解析式后即可确定其顶点坐标.
解答:解:(1)∵抛物线与y轴交于点(0,3a)
∴c=3a
∵对称轴为=1,
∴x=-
b
2a
=1
∴b=-2a;

(2)∵抛物线与直线y=x-1交于点(2,1),
∴(2,1)在抛物线上,
∴1=a×22+2(-2a)+3a
∴a=
1
3

∴b=-2a=-
2
3
  c=3a=1
∴抛物线为y=
1
3
x2-
2
3
x+1;

(3)∵b(c+6)=-2a(3a+6)=-6a2-12a=-6(a+1)2+6
当a=-1时,b(c+6)的最大值为6;
∴抛物线y=-x2+2x-3=-(x-1)2-2
故抛物线的顶点坐标为(1,-2).
点评:本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值及待定系数法确定二次函数的解析式,正确的利用三个系数之间的关系是解决本题的关键.
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