Question

12．（1）如图（1）所示，当顶点A在⊙O上时，猜测∠BAC与∠BOC度数关系并证明：
（2）如图（2）所示，当顶点A在⊙O外时，猜测∠BAC与∠DOE，∠BOC的度数关系并证明：
（3）如图（3）所示，当顶点A在⊙O内部时，猜测∠BAC与∠BOC，∠DOE的度数的关系并证明．

Answer 1

分析 （1）连接AO并延长交⊙O于M，连接BO，CO，由OA=OB=OC，得到∠1=∠B，∠2=∠C，根据角平分线的定义得到∠BOM=$\frac{1}{2}$∠1，∠COM=$\frac{1}{2}∠$2，于是得到结论；
（2）如图2，连接OA，根据三角形的外角的性质得到∠BOC=∠B+∠BAC+∠C，由于∠B=∠BEO=∠EAO+∠EOA，∠C=∠ODC=∠AOD+∠OAD，于是得到∠BOC=∠EOD+2∠BAC，即可得到结果；
（3）根据三角形的外角的性质得到∠BOC=2∠E，∠BAC=∠E+∠C，∠DOE=2∠C，于是推出∠BAC=2∠E+2∠C，即可得到结论．

解答 解：（1）连接AO并延长交⊙O于M，连接BO，CO，
∵OA=OB=OC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∴∠BOM=$\frac{1}{2}$∠1，∠COM=$\frac{1}{2}∠$2，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}∠$BOC；


（2）如图2，连接OA，
∴∠BOC=∠B+∠BAC+∠C，
∵∠B=∠BEO=∠EAO+∠EOA，∠C=∠ODC=∠AOD+∠OAD，
∴∠BOC=∠EOD+2∠BAC，
∴∠BOC-∠EOD=2∠BAC；

（3）2∠BAC=∠BOC+∠DOE，
理由：∵∠BOC=2∠E，∠BAC=∠E+∠C，∠DOE=2∠C，
∴∠BAC=∠E+∠C=$\frac{1}{2}∠$BOC+$\frac{1}{2}∠$DOE=$\frac{1}{2}$（∠BOC+∠DOE），
∴2∠BAC=∠BOC+∠DOE．

点评 本题考查了圆周角定理，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．