Question

如图，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形．连接BG，DE．
（1）观察猜想BG与DE之间的关系，并证明你的猜想；
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
（3）延长BG交DE于H．当AB=6cm．CE=2cm时．求BH的长．

Answer 1

分析：（1）猜想BG⊥DE，且BG=DE．运用勾股定理证明BG=DE．延长BG与DE交于H点，根据∠DGH+∠GDF=90°可以证明∠DHG=90°，即BG⊥DE；
（2）存在，△BCG和△DCE可以通过旋转重合．利用△BCG≌△DCE即可得出．
（3）首先得出△BGC∽△DGH，进而得出

CG

GH

=

BG

DG

，求出GH的长，再利用勾股定理求出BG的长，即可得出答案．

解答：解：（1）BG⊥DE，且BG=DE．理由如下：
延长BG与DE交于H点．
在直角△BCG中，BG=

BC2+CG2

，
在直角△DCE中，DE=

DC2+CE2

，
∵BC=DC，CG=CE，
∴BG=DE．
在△BCG和△DCE中，

BC=DC CG=CE GB=ED

，
∴△BCG≌△DCE，
∴∠BGC=∠DEC，BG=DE，
又∵∠BGC=∠DGH，∠DEC+∠CDE=90°，
∴∠DGH+∠GDH=90°，∴∠DHG=90°，
故BG⊥DE，且BG=DE；

（2）存在，△BCG≌△DCE，（1）中已证明，
且△BCG和△DCE有共同顶点C，则△DCE沿C点逆时针旋转90°与△BCG重合；

（3）由（1）得出：
∵BG⊥DE，∴∠DHG=90°，
∵∠BCG=90°，
∴∠DHG=∠BCG，
∵∠DGH=∠BGC，
∴△BGC∽△DGH，
∴

CG

GH

=

BG

DG

，
∵AB=6cm．CE=2cm，
∴BC=6cm，CG=2cm，DG=4cm，BG=

BC2+CG2

=

62+22

=2

10

cm，
∴

2

GH

=

2 10

4

，
解得：GH=

2 10

5

cm，
∴BH=2

10

+

2 10

5

=

12 10

5

cm．

点评：本题考查了旋转性质、全等三角形性质和判定、以及相似三角形的性质与判定和勾股定理等知识点的运用，关键是证出△BCG≌△DCE，主要训练学生的推理能力和观察图形的能力．