Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于两点，其中点A坐标（-1，0 ），点C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△MCB的面积？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵A（-1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴，
解方程组，得，
故抛物线的解析式为y=-x²+4x+5；

（2）过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=MN•OB．
∵y=-x²+4x+5=-（x-5）（x+1）=-（x-2）²+9，
∴M（2，9），B（5，0），
由B、C两点的坐标易求得直线BC的解析式为：y=-x+5，
当x=2时，y=-2+5=3，则N（2，3），
则MN=9-3=6，
则S_△MCB=×6×5=15；

（3）在抛物线上存在点P，使△PAB的面积等于△MCB的面积．理由如下：
∵A（-1，0），B（5，0），
∴AB=6，
∵△PAB的面积=△MCB的面积，
∴×6×|y_P|=15，
∴|y_P|=5，y_P=±5．
当y_P=5时，-x²+4x+5=5，解得x₁=0，x₂=4；
当y_P=-5时，-x²+4x+5=-5，解得x₃=2+，x₄=2-．
故在抛物线上存在点P₁（0，5），P₂（4，5），P₃（2+，-5），P₃（2-，-5），使△PAB的面积等于△MCB的面积．
分析：（1）由A、C、D三点在抛物线上，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=MN•OB；
（3）先由△PAB的面积等于△MCB的面积，求出AB边上的高即点P的纵坐标的绝对值，再将点P的纵坐标代入抛物线的解析式，得到一元二次方程，如果方程有实数根，则在抛物线上存在点P，否则不存在．
点评：本题考查了解二次函数综合题的方法：先运用待定系数法求出二次函数的解析式，确定各特殊点的坐标，得到有关线段的长，求出三角形的面积，再利用已知条件、函数的性质等知识去确定其他点的坐标．