Question

如图，已知PA切⊙O于A，∠APO=30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算

HC-HB

BC

的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：连OB、OC、OA，根据切线的性质得到OA⊥PA，即∠PAO=90°，易证得Rt△PAH∽Rt△POA，则PA：PO=PH：PA，即PA²=PH•PO，由切割线定理得PA²=PB•PC，则有PH•PO=PB•PC，根据三角形相似的判定得到△PBH∽△POC，则∠PBH=∠POC，

BH

OC

=

PB

PO

，即

BH

PB

=

OC

PO

①，根据四点共圆的判定方法得到点H、B、C、O四点共圆，利用在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等得到∠HOB=∠HCB，易证得△PBO∽△PHC，于是有

OB

HC

=

PO

PC

，即

OB

PO

=

HC

PC

②，由①②得

BH

PB

=

HC

PC

，即

HC

BH

=

PC

PB

，利用比例的性质得到

HC-BH

BH

=

PC-PB

PB

=

BC

PB

，则有

HC-HB

BC

=

BH

PB

，由①得

HC-HB

BC

=

OC

PO

=

OA

OP

，在Rt△OAP中，∠APO=30°，则OP=2OA，即可得到

HC-HB

BC

的值．

解答：解：连接OB、OC、OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°，
而AH⊥OP，
∴∠PHA=90°，
∴Rt△PAH∽Rt△POA，
∴PA：PO=PH：PA，即PA²=PH•PO，
又∵PBC为⊙O的割线，
∴PA²=PB•PC，
∴PH•PO=PB•PC，
∴△PBH∽△POC，
∴∠PBH=∠POC，

BH

OC

=

PB

PO

，即

BH

PB

=

OC

PO

①，
∴点H、B、C、O四点共圆，
∴∠HOB=∠HCB，
∴△PBO∽△PHC，
∴

OB

HC

=

PO

PC

，即

OB

PO

=

HC

PC

②，
由①②得

BH

PB

=

HC

PC

，即

HC

BH

=

PC

PB

，
∴

HC-BH

BH

=

PC-PB

PB

=

BC

PB

，
∴

HC-HB

BC

=

BH

PB

，
∴

HC-HB

BC

=

OC

PO

=

OA

OP

，
∵在Rt△OAP中，∠APO=30°，则OP=2OA，
∴

HC-HB

BC

=

1

2

．

点评：本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；四边形的对角互补，则四点在同一个圆上；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等；利用相似三角形的判定与性质证明比例线段，运用比例的性质以及含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．