Question

（2013•苏州一模）如图，正方形ABCD边AB在x轴上，且坐标分别为A（1，0），B（-1，0），若抛物线经过A，B两点，将正方形绕A点顺时针旋转30°后D点转到D′位置，且D′在抛物线上，则抛物线的解析式为

y=

3

3

（x+1）（x-1）（或y=

3

3

x²-

3

3

）

．

Answer 1

分析：如图，过点D′作D′E⊥x轴于点E．根据旋转的性质推知直角△AED′中的AD′=2，∠D′AE=60°，通过解该直角三角形即可求得AE、D′E的长度，从而求得点D′的坐标，然后将其代入二次函数解析式y=a（x+1）（x-1）（a≠0），从而求得a的值．

解答：解：根据题意，可设该二次函数解析式为y=a（x+1）（x-1）（a≠0），
如图，过点D′作D′E⊥x轴于点E．
∵A（1，0），B（-1，0），
∴AB=2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=2，∠DAB=90°．
又∵由旋转的性质知，∠DAD′=30°，AD=AD′=2，
∴在直角△AED′中，AE=AD′cos60°=2×

1

2

=1，D′E=AD′sin60°=2×

3

2

=

3

，
∴D′（2，

3

）．
∵点D′在抛物线上，
∴

3

=a（2+1）（2-1），
解得，a=

3

3

，
∴该二次函数解析式是：y=

3

3

（x+1）（x-1）（或y=

3

3

x²-

3

3

）．
故答案是：y=

3

3

（x+1）（x-1）（或y=

3

3

x²-

3

3

）．

点评：本题综合考查了旋转的性质，点的坐标与图形的性质，解直角三角形以及待定系数法求二次函数解析式．在求点D′的坐标时，也可以在直角△AED′中利用“勾股定理、30°角所对的直角边是所对的斜边的一半”进行解答．