Question

如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠ABC=60°．点Q从点D出发沿折线DC→CA→AB以每秒3个单位长的速度匀速运动；点P从点B沿BC以每秒1个单位长的速度匀速运动，射线PK随点P移动，保持与BC垂直，且交折线AB-AC于点E，交直线AD于点F，当点Q运动到点B时，停止运动，点P也随之停止．P、Q两点同时出发，设Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，BP=AF？
（2）当t为何值时，QE⊥AB？
（3）设直线PK扫过菱形ABCD的面积为S，试求S和t之间的函数关系式；
（4）当Q在线段CD上运动时，请直接写出△PQF为等腰三角形时t的值．

Answer 1

解：（1）∵PF⊥BC，∠ABC=60°，AB=10，
∴PF=5，
∵E为PF的中点，
∴PE=，
∴BP=，
∴．

（2）当点Q在DC上时，
3t-5=10-2t
t=3．
当点Q在AC上运动时，不可能．
当Q在AB上运动时，
10-（10-t）-（3t-20）=5
t=7.5．

（3）在前5秒钟内，BP=t，PE=t，
∴S=t²（0≤t≤5）．
在5秒后运动时，扫过的面积是梯形，
S=（t-5+t）=t-．

（4）△PQF为等腰三角形时，t=，．
分析：（1）当E是AB的中点时，AF=BP，根据PF⊥BC，∠ABC=60°，可求解．
（2）当Q在CD上，AC上，AB上运动时，根据不同情况求出解．
（3）开始扫过的是三角形的面积，以后扫过的是四边形的面积，根据面积公式可求出函数式．
（4）两边相等的三角形是等腰三角形，根据此可求出解．
点评：本题考查了菱形的性质，菱形的四边相等，等腰三角形的判定以及全等三角形的判定和性质．