Question

如图，AB为⊙O的直径，BC、CD是弦，过点B作BE⊥CD交弦CD 的延长线于E，连结OC，∠BOC=2∠CBE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若CD=6，∠COB=120°，求的长．

Answer 1

（1）方法一：
证明：∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB+∠COB=180°，
∠BOC=2∠CBE，
∴2∠OBC+2∠CBE=180°，
∴∠OBC+∠CBE=90°，
∴OB⊥BE，
∵点B在⊙O上，
∴BE是⊙O的切线．
方法二：
证明：连接AC
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°．
∴∠BAC+∠CBA=90°，
∵∠BOC=2∠CBE，
∠BOC=2∠BAC，
∴∠BAC=∠CBE，
∴∠CBE+∠CBA=90°，
∴OB⊥BE，
∵点B在⊙O上，
∴BE是⊙O的切线．

（2）解：连结OD．
∵∠COB=120°，
∠BOC=2∠CBE，
∴∠CBE=60°，
∵BE⊥CD，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠COD=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD=CD=6，
∴=．
分析：（1）根据等边对等角得出∠OBC=∠OCB，进而利用已知得出2∠OBC+2∠CBE=180°，即可得出OB⊥BE，BE是⊙O的切线；
（2）利用切线的性质以及等边三角形的判定得出△OCD是等边三角形，进而利用弧长公式求出即可．
点评：此题主要考查了弧长公式的应用以及等边三角形的判定和切线的性质和判定等知识，熟练掌握切线的性质是解题关键．