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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网已知，如图，抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．
    （1）求p、q的值．
    （2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）先求出点C、D和A的坐标，后根据直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称列方程组求解；
    （2）假设存在这样的Q点，再通过求解四边形PAQD的边AQ和PD的关系说明假设不成立；
    （3）先假设存在满足条件的点E，先求出直线AE的解析式，E点即是AE和CD的交点，最后证明△PAE与△PAC相似．
    解答：解：（1）在抛物线y=x2+px+q中，
    当x=0时，y=q．即：C点的坐标为（0，q）．
    因为：OA=OC，D点与A点关于y轴对称．
    所以：A点的坐标为（q，0）；D点的坐标为（-q，0）．
    将A（q，0）代入y=x2+px+q中得：0=q2+pq+q
    即：q（q+p+1）=0
    所以：q=0，（不符合题意，舍去．）
          q+p=-1   ①
    现在求点P的坐标，即抛物线y=x2+px+q顶点的坐标：
    横坐标：-
    p
    2
    ；纵坐标：
    4q-p2
    4
    ，
    设直线CD的方程为y=kx+b
    因为直线CD过C（0，q）、D（-q，0）两点，所以有方程组
    q=b，0=-qk+b．
    解得：k=1，b=q．
    所以直线CD的解析式为：y=x+q．
    因为点P在直线CD上，
    所以
    4q-p2
    4
    =-
    p
    2
    +q
    解得：p=0（不符合题意，舍去）
           p=2   ②
    又已经求得的①、②两等式得：p=2，q=-3．
    因此；p、q的值分别为 2和-3．

     （2）∵p=2，q=-3．
    ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3，
    A、D、C、P四点的坐标分别为（-3，0）、（3，0）、（0，-3）、（-1，-4）．
    直线CD的方程式为y=x-3，
    设：过A点与直线CD平行的直线AQ的方程为：
            y=x+b（因两直线平行，所以一次项系数相等）
    因为点A（-3，0）在直线AQ上，将其代入y=x+b中得：0=-3+b，解得：b=3
    所以：直线AQ的方程为：y=x+3
    下面求直线AQ（y=x+3）与抛物线y=x2+2x-3的交点Q的坐标：
     解方程组y=x2+2x-3，y=x+3．得x1=2，y1=5；x2=-3，y2=0．
    即：两交点为A（-3，0）；Q（2，5）．
    下面再求A、Q两点距离和P、D两点距离：从图形可知
    |AQ|=5
    		2
    ，|PD|=4
    		2
    ，
    所以|AQ|≠|PD|
    这说明AQ与PD不相等，所以在抛物线上不存在满足四边形APDQ是平行四边形的Q点．

     （3）存在E点，且E点坐标为（9，6）．
    具体求解过程如下：
    设E点是直线PC上的点，且满足AE垂直AP
    求直线AP的方程，设直线AP的方程为y=kx+b
    因为A（-3，0），P（-1，-4）两点在直线AP上，所以有方程组
      0=-3k+b，-4=-k+b．解得：k=-2，b=-6．
    所以直线AP的方程式为：y=-2x-6
    因为直线AE垂直直线AC，所以两直线一次项系数之积等于-1
    所以，设直线AE方程式为y=
    1
    2
    x+b
    A（-3，0）点在直线AE上，所以b=
    3
    2
    ，
    所以直线AE的方程式为y=
    1
    2
    x+
    3
    2
    ，
    直线AE与直线CD相交于E点，解两直线方程组成的方程组得：x=9，y=6．
    即E点的坐标为（9，6）．
    在三角形ACD中，因为OA=OD=OC，AD垂直CO，
    所以∠ACD是直角，
    在直角三角形APE中，AC是斜边PE上的高，
    所以△APC∽△EPA．
    点评：本题考查了二次函数的知识，难度较大，注意各部分知识的熟练掌握与灵活运用．
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    已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为-1和3，精英家教网与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．
    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；
    （3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上，矩形面积为12，
    （1）求该抛物线的对称轴；
    （2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
    （3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•宁化县质检）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1-
    		3
    ，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处．
    （1）求原抛物线的解析式；
    （2）在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上？若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
    （3）学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比
    		5
    -1
    2
    （约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：
    		5
    ≈2.236    ，
    		6
    ≈2.449    ，结果精确到0.001）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；
    （3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
    （4）若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

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