Question

17．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（-3，y₁）、点B（-$\frac{1}{2}$，y₂）、点C（$\frac{7}{2}$，y₃）在该函数图象上，则y₁＜y₃＜y₂；（5）若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x₁和x₂，且x₁＜x₂，则x₁＜-1＜5＜x₂．其中正确的结论是①③⑤．

Answer 1

分析 根据抛物线的对称轴为直线x=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=-3时，函数值小于0，则9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=-1时，y=0，则a-b+c=0，易得c=-5a，所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；利用抛物线的对称性得到（$\frac{1}{2}$，y₃），然后利用二次函数的增减性求解即可，作出直线y=-3，然后依据函数图象进行判断即可．

解答 解：∵x=-$\frac{b}{2a}$=2，
∴4a+b=0，故①正确．
由函数图象可知：当x=-3时，y＜0，即9a-3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故②错误．
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
∴a-b+c=0
又∵b=-4a，
∴a+4a+c=0，即c=-5a，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为x=2，C（$\frac{7}{2}$，y₃），
∴（$\frac{1}{2}$，y₃）．
∵-3＜-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$，在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴y₁＜y₂＜y₃，故④错误．
方程a（x+1）（x-5）=0的两根为x=-1或x=5，
过y=-3作x轴的平行线，直线y=-3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，

依据函数图象可知：x₁＜-1＜5＜x₂．
故答案为：①③⑤．

点评 本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质以及数学结合是解题的关键．