Question

如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=-时，y取最大值．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P是直线AC上一点，且S_△ABP：S_△BPC=1：3，求点P的坐标；
（3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：
①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）
（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则M、N两点之间的距离为|MN|=）

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据抛物线y=-x²+bx+c，当x=-时，y取最大值，得到抛物线的顶点坐标为（-，），可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出A、C的坐标，然后将A、C的坐标代入
y=kx+m，运用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的长，然后分情况讨论：
①当P在线段AC上时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足．由PH∥OC，根据平行线分线段成比例定理求出PH的长，进而求出P点的坐标；
②当P在CA的延长线上时，由PG∥OC，根据平行线分线段成比例定理求出PG的长，进而求出P点的坐标；
（3）联立两函数的解析式，设直线y=x+a与抛物线y=-x²-x+6的交点为M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左侧），则x_M、x_N是方程x²+x+a-6=0的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，x_M+x_N=-，x_M•x_N=a-6，进而求出y_M•y_N=（a-6）-a+a²．
①由于∠MON=90°，根据勾股定理得出OM²+ON²=MN²，据此列出关于a的方程，解方程即可求出a的值；
②由于∠MON＞90°，根据勾股定理得出OM²+ON²＜MN²，据此列出关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围．
解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c，当x=-时，y取最大值，
∴抛物线的解析式是：y=-（x+）²+，即y=-x²-x+6；
当x=0时，y=6，即C点坐标是（0，6），
当y=0时，-x²-x+6=0，解得：x=2或-3，
即A点坐标是（-3，0），B点坐标是（2，0）．
将A（-3，0），C（0，6）代入直线AC的解析式y=kx+m，
得，
解得：，
则直线的解析式是：y=2x+6；

（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵S_△ABP：S_△BPC=1：3，
∴=，
∴AP：PC=1：3，
由勾股定理，得AC==3．
①当点P为线段AC上一点时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足．
∵PH∥OC，
∴==，
∴PH=，
∴=2x+6，
∴x=-，
∴点P（-，）；
②当点P在CA延长线时，作PG⊥x轴，点G为垂足．
∵AP：PC=1：3，
∴AP：AC=1：2．
∵PG∥OC，
∴==，
∴PG=3，
∴-3=2x+6，x=-，
∴点P（-，-3）．
综上所述，点P的坐标为（-，）或（-，-3）．

（3）设直线y=x+a与抛物线y=-x²-x+6的交点为M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左侧）．
则，为方程组的解，
由方程组消去y整理，得：x²+x+a-6=0，
∴x_M、x_N是方程x²+x+a-6=0的两个根，
∴x_M+x_N=-，x_M•x_N=a-6，
∴y_M•y_N=（x_M+a）（x_N+a）=x_M•x_N+（x_M+x_N）+a²=（a-6）-a+a²．
①存在a的值，使得∠MON=90°．理由如下：
∵∠MON=90°，
∴OM²+ON²=MN²，即+++=（x_M-x_N）²+（y_M-y_N）²，
化简得x_M•x_N+y_M•y_N=0，
∴（a-6）+（a-6）-a+a²=0，
整理，得2a²+a-15=0，
解得a₁=-3，a₂=，
∴存在a值，使得∠MON=90°，其值为a=-3或a=；
②∵∠MON＞90°，
∴OM²+ON²＜MN²，即+++＜（x_M-x_N）²+（y_M-y_N）²，
化简得x_M•x_N+y_M•y_N＜0，
∴（a-6）+（a-6）-a+a²＜0，
整理，得2a²+a-15＜0，
解得-3＜a＜，
∴当∠MON＞90°时，a的取值范围是-3＜a＜．
点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，函数与方程的关系，勾股定理，钝角三角形三边的关系等知识，综合性较强，难度较大．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．