Question

已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，EB=

5

．
（1）求证：△APD≌△AEB；
（2）探究EB与ED的位置关系，并说明理由；
（3）求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质提供的相等线段和相等角，利用SAS判定两三角形全等；
（2）利用上一道题证得的全等得到的对应角相等，证明∠BEP=∠PAE即可；
（3）正方形的面积是边长的平方，而解决本题时不用求出正方形的边长，而是直接利用勾股定理求得边长的平方即可．

解答：（1）证明：∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB；

（2）解：∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；

（3）解：如图，过点B作BF⊥AF，交AE延长线于点F．
∵△AEP为等腰直角三角形，
∴∠AEP=45°，又∠DEB=90°，
∴∠FEB=45°，又∠EFB=90°，
∴△EFB为等腰直角三角形，又EB=

5

，
设EF=FB=x，
在直角三角形EFB中，根据勾股定理得：x²+x²=（

5

）²，
解得：x=

10

2

，所以EF=BF=

10

2

，
∵EF=BF=

10

2

，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB²=（AE+EF）²+BF²=6+

10

，
∴S_{正方形ABCD}=6+

10

．

点评：本题考查了正方形的性质、勾股定理等相关的知识，特别是在求正方形的面积时候，没有盲目的求边长，而是直接求得正方形边长的平方．