Question

在△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，如果∠BAD=40°，AD是△ABC的中线，AD=AE，则∠EDC=______；
（2）如图2，如果（1）∠BAD=70°，AD是△ABC的中线，AD=AE，则∠EDC=______；
（3）思考，通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC数量之间有什么关系？请用式子表示______；
（4）如图3，如果AD不是△ABC的中线，AD=AE，是否仍有上述关系？请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=40°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=（180°-∠CAD）=（180°-40°）=70°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°；

（2）同理可求，∠ADE=（180°-70°）=55°，
∴∠ADE=∠ADC-∠ADE=90°-55°=35°；

（3）∠BAD=2∠EDC；

（4）证明：如图，∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠1=∠2，
又∵∠1+∠3=∠4+∠B，∠2=∠3+∠C，
∴∠4=2∠3，
即∠BAD=2∠EDC．
故答案为：（1）20°；（2）35°；（3）∠BAD=2∠EDC．
分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠CAD=∠BAD，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE，然后根据∠EDC=∠ADC-∠ADE计算即可得解；
（2）与（1）同理计算即可得解；
（3）根据数量关系可得∠BAD=2∠EDC；
（4）根据等边对等角可得∠B=∠C，∠1=∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理可得∠4=2∠3，即∠BAD=2∠EDC．
点评：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．