Question

如图，△ABC内接于⊙O，外角∠BAM的平分线与⊙O交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：①AE=AF；②

BD

=

CD

；③BE=CF；④DF为⊙O的切线．其中正确的是（　　）

A．①②④

B．②③④

C．①③④

D．①②③

Answer 1

分析：根据HL定理以及外角的性质和圆心角定理，分别进行判断即可得出答案．

解答：解：连接BD，CD，
∵△ABC内接于⊙O，外角∠BAM的平分线与⊙O交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DF=DE，
∵在Rt△ADF和Rt△ADE中，

DF=DE AD=AD

，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AE=AF，
故①正确；
∵∠ABC+∠ACB=∠BAF，
∠BAD=∠DAF，
∴∠BAD=

1

2

（∠ABC+∠ACB），
∴

BD

=

1

2

BDC

，
∴②

BD

=

CD

，故②正确；
∵

BD

=

CD

，
∴BD=CD，
∵DE=DF，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，

BD=CD DE=DF

，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，故③正确；
无法证明DF为⊙O的切线，故④选项错误，
故①②③正确，
故选：D．

点评：此题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定等知识，根据已知得出∠BAD=

1

2

（∠ABC+∠ACB）进而得到

BD

=

CD

是解题关键．