Question

已知抛物线y=ax²-1与x轴交于点A（-1，0），与y轴交于点B，点P是抛物线上的一点，若△PAB是直角三角形，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：代数几何综合题,分类讨论

分析：把点A（-1，0）代入抛物线y=ax²-1得抛物线的解析式为；y=x²-1，再求出点B、C的坐标，再证出∠CBA=90°，得出点P在点C处时，△PAB是直角三角形，求出点P的坐标，过点A作PA⊥AB，交y轴与点D，求出直线AC的解析式为；y=x+1，再由

y=x2-1 y=x+1

  即可求出点P的坐标．

解答：解：把点A（-1，0）代入抛物线y=ax²-1得；0=a-1，a=1，
则抛物线的解析式为；y=x²-1，点B的坐标为（0，-1），
设抛物线y=ax²-1与x轴的另一个交点为C，则点C的坐标为（1，0），
∵OB=OC=1，
∴∠OBC=45°，
∵OB=OA，
∴∠OBA=45°，
∴∠CBA=90°，
∴点P在点C处时，△PAB是直角三角形，点P的坐标为（1，0），
过点A作PA⊥AB，交y轴与点D，
∵∠OAB=45°，
∴∠OAD=∠ODA=45°，
∴OA=OD=1，
∴点D的坐标为（0，1），
∴直线AC的解析式为；y=x+1，
由

y=x2-1 y=x+1

  得：

x=-1 y=0

 （舍去），

x=2 y=3

，
∴点P的坐标为（2，3）；
故答案为；（1，0），（2，3）．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，用到的知识点是抛物线与坐标轴的交点、一次函数与抛物线的交点，关键是根据题意画出图形，要注意分两种情况求解．