Question

已知：如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF交EF于G，又B为AG上一点，EB的延长线交半圆于点K，
（1）求证：AE²=EB•EK；
（2）若A是弧Ek的中点，求证：EB=AB；
（3）若EG=2，GF=6，GB=

5

，求BK的值．

Answer 1

分析：（1）因为EF是直径，所以它所对的圆周角为直角，再利用垂直，利用三角形相似证明；
（2）根据圆周角的定理，相等的弧对应的圆周角相等可以证明出来；
（3）利用三角形的相似求解．

解答：（1）证明：如图，连接AF、KF，
∵EF是直径，
∴∠EAF=∠EKF=90°
又AG⊥EF交EF于G，
所以∠BGE=∠EKF=90°，
所以△BEG∽△FEK，
则

BE

EF

= 

EG

EK

所以BE•EK=EF•EG；
又AG⊥EF交EF于G，∠EAF=90°
所以△AEG∽△FEA，
则

AE

FE

= 

EG

EA

即AE²=FE•EG
所以得出：AE²=EB•EK；

（2）证明：由（1）知，△AEG∽△FEA，
所以∠EAG=∠EFA
又A是弧Ek的中点，
根据圆周角性质可得：∠EFA=∠AEB
所以∠EAG=∠AEB
因此EB=AB；

（3）解：由（1）知，△BEG∽△FEK，
所以

BE

EF

= 

EG

EK

在直角三角形BEG中，BE=

BG2+EG2

=

( 5 )2+22

=3
又FG=6，所以EF=EG+GF=2+6=8
所以

3

8

=

2

EK

解得EK=

16

3

所以BK=EK-BE=

16

3

-3=

7

3

．

点评：本题考查的是垂径定理和圆周角性质，同时还有三角形相似的问题，再加上圆心角、弧、弦等，是一道综合性比较强的题．