Question

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以A为圆心的⊙A与边BC相切于点D．与AB、AC两边分别交于点E、F．连接DE、DF、EF．
（1）求证：DE=DF；
（2）若⊙A的半径为3，BC=8．求EF的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接AD．
∵⊙A与边BC相切于点D，
∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴∠EAD=∠FAD．
∵在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴DE=DF；

（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=4．
又∵0A的半径为3，即AD=3，
∴根据勾股定理求得AC==5；
∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，
∴AD⊥EF．
又∵AD⊥BC，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，即=，
∴EF=．
分析：（1）通过全等三角形的判定定理SAS证得△AED≌△AFD，则该全等三角形的对应边相等；
（2）根据等腰△AEF、等腰△ABC“三合一”的性质证得AD⊥EF，AD⊥BC，则EF∥BC，所以△AEF∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例来求线段EF的长度．
点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及切线的性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．