Question

两只大小不同的含45°角的三角板ABC和DBE如图摆放，直角顶点重合，连接AE，CD，F，M，N，G分别为线段AC，CD，ED，AE的中点．
（1）如图，若三角形的两直角重合，判断四边形FMNG的形状，并证明你的结论；
（2）从（1）开始，三角板绕B点顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°）时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，画出一种情形，给出证明；若不成立，请说明理由．（若画出α=180°的情形，并正确答题得2分； 若画出α=90°的情形，并正确答题得4分； 若画出其它的情形并正确答题得6分．请自主选择．）

Answer 1

解：（1）∵△ABC，△DBE为等腰直角三角形，
∴AC∥DE，
∵M，N为DC，DE中点，
∴MN∥CE，
∴MN∥BC，
同理可证：FG∥BC，FM∥AB，GN∥AB，
∴FGNM为平行四边形，
又∵AB⊥BC，
∴GN⊥MN，
∴FGNM为矩形，
∴AD=CE，MN=CE，
∴MN=CE=AD=GN，
∴FGNM为正方形；
（2）∵F，M，N，G分别为线段AC，CD，ED，AE的中点，
∴FG，FM，MN，NG分别为△ACE，△ACD，△DCE，△AED的中位线．
∴FG=MN=•CE，FM=NG=•AD，
∴四边形FMNG是平行四边形；

分析：（1）根据已知条件得出AC∥DE，MN∥CE，MN∥BC，FG∥BC，FM∥AB，GN∥AB，即可得出FGNM为平行四边形，再根据AB⊥BC，得出GN⊥MN，从而得出FGNM为矩形，最后根据中位线的性质得出MN=CE=AD=GN，即可得出四边形FMNG的形状；
（2））根据F，M，N，G分别为线段AC，CD，ED，AE的中点，得出FG，FM，MN，NG分别为△ACE，△ACD，△DCE，△AED的中位线，从而证出四边形FMNG是平行四边形；
点评：此题考查了三角形中位线定理，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、中位线等，解题的关键是根据中位线的性质进行解答．