Question

如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2

3

cm．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求⊙O的周长；
（3）连接AD，求证：DB=DA+DC．

Answer 1

分析：（1）根据∠BAC与∠BDC是同弧所对的圆周角即可解答；
（2）根据已知条件判断出△ABC是等边三角形，连接OB，OC，过O作OE⊥BC于E，根据垂径定理可求出BE的长，再由特殊角的三角函数值即可求出OB的长，由圆的周长公式即可求解；
（3）连接AD并延长至F，使DE=CD，由圆周角定理及平角的性质可得出△CDE是等边三角形，再由ASA定理
可得△DBC≌△CAE，由全等三角形的性质即可得出结论．

解答：解：（1）∵∠BAC与∠BDC是

BC

所对的圆周角，∠BDC=60°，
∴∠BAC=60°．

（2）∵△ABC中，∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2

3

，圆心O是△ABC的内心，
连接OB，OC，过O作OE⊥BC于E，则BE=

1

2

BC=

1

2

×2

3

=

3

，∠OBE=30°，
∴OB=

BE

cos∠OBE

=

3

3 2

=2，
∴⊙O的周长=2π•OB=2π×2=4π．

（3）连接AD并延长至E，使DE=CD，连接CE，
∵∠ACB=∠BDC=60°，
∴∠ADB=∠BDC=60°，
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠BDC=180°-60°-60°=60°，
∴△CDE是等边三角形，∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角，
∴∠DAC=∠DBC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∴△DBC≌△CAE，
∴BD=AE，即DB=DA+DC．

点评：本题比较复杂，考查的是圆周角定理、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、全等三角形的判定定理及性质，根据题意作出辅助线，构造出相应的三角形是解答此题的关键．