Question

如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）证明：∠BAE=∠FEC；
（2）求△AEF的面积．

Answer 1

证明：如右图，
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，
∵G、E是AB、BC中点，
∴BG=AB，BE=BC，
∴BG=BE，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠BGE=∠1+∠2=45°，
∵∠AEF=90°，
∴∠1+∠4=180°-45°-90°=45°，
∴∠2=∠4，
即∠BAE=∠FEC；
（2）由（1）知∠BGE=45°，
∴∠AGE=135°，
∵CF是∠DCH的角平分线，
∴∠FCH=×90°=45°，
∴∠ECF=135°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵G、E是AB、BC中点，
∴AG=AB，EC=BC，
∴AG=EC，
在△AGE和△ECF中，
，
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF，
在Rt△ABE中，∵AE²=AB²+BE²，
∴AE²=a²，
∴S△AEF=×AE×EF=AE²=×a²=a²．
分析：（1）由于四边形ABCD是正方形，可得∠B=90°，AB=BC，而G、E是AB、BC中点，易证BG=BE，可求∠BGE=∠BEG=45°，利用三角形外角性质可得∠BGE=∠1+∠2=45°，又知∠AEF=90°，易求∠1+∠4=45°，从而可证∠BAE=∠FEC；
（2）由（1）知∠BGE=45°，可求∠AGE=135°，而CF是外角平分线，可求∠FCE=45°，进而可求∠ECF=135°，那么∠AGE=∠ECF，根据正方形的性质以及重点定义，易证AG=EC，又知∠4=∠2，利用ASA可证△AGE≌△ECF，于是EA=EF，在Rt△ABE中利用勾股定理可求AE²=a²，进而可求△AEF的面积．
点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形外角性质，解题的关键是证明∠BAE=∠FEC，以及证明△AGE≌△ECF．