Question

已知反比例函数的图象过第二象限的点A（-2，m），AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为2，若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，-1）．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求直线y=ax+b的解析式．
（3）在y轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A的坐标为（-2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴=2，即=2，
∴m=2，
则点A的坐标为（-2，2），
把点A的坐标代入y=中，得k=-4，
则反比例函数的解析式为：y=-；

（2）将y=-1代入由（1）得出的反比例函数解析式y=-中，得x=4，
可得C（4，-1），
又有A（-2，2），
将A和C坐标代入y=ax+b中，得，
解得：，
则直线解析式为y=-x+1；

（3）在y轴上存在点P，使△AOP是等腰三角形，
分四种情况考虑，如图所示：

当AP₁=P₁O时，△AP₁O为等腰直角三角形，
∵A（-2，2）
，∴AP₁=OP₁=2，
此时P₁（0，2）；
当OA=OP₃时，∵A（-2，2），
∴OA=2，
此时P₃（0，2）；
当OA=AP₂时，OP₂=4，
此时P₂（0，4）；
当OA=OP₄时，由OA=2，得到OP₄=2，
此时P₄（0，-2）．
综上，满足题意坐标为P₁（0，2），P₂（0，4），P₃（0，2），P₄（0，-2）．
分析：（1）由A的坐标表示出AB及OB的长，根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半，由AB与BO乘积的一半表示出三角形AOB的面积，根据三角形AOB的面积为2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例函数解析式中，求出k的值，即可确定出反比例函数解析式；
（2）由A和C两点在反比例函数图象上，将C的坐标代入反比例函数解析式中，求出n的值，确定出C的坐标，然后将A和C的坐标代入y=ax+b中，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解集得到a与b的值，即可确定出一次函数y=ax+b的解析式；
（3）在y轴上存在点P，使△AOP是等腰三角形，分四种情况考虑：当AP₁=P₁O时；当OA=OP₃时；当OA=AP₂时；当OA=OP₄时，分别根据A的坐标得出OA的长，即可确定出各种情况P的坐标．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点，及待定系数法求函数解析式，利用了数形结合及分类讨论的思想，难度较大，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式，同时第三问满足题意的点P坐标要找对、找全．