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    9．在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2-5x+2=0，操作步骤是：
    第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；
    第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
    第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）；
    第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根．

    （1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）；
    （2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一个实数根；
    （3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
    （4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一对固定点？

    分析 （1）根据“第四步”的操作方法作出点D即可；
    （2）过点B作BD⊥x轴于点D，根据△AOC∽△CDB，可得$\frac{AO}{CD}$=$\frac{OC}{BD}$，进而得出$\frac{1}{5-m}$=$\frac{m}{2}$，即m2-5m+2=0，据此可得m是方程x2-5x+2=0的实数根；
    （3）方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为x2+$\frac{b}{a}$x+$\frac{c}{a}$=0，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标；
    （4）先设方程的根为x，根据三角形相似可得$\frac{{n}_{1}}{x-{m}_{1}}$=$\frac{{m}_{2}-x}{{n}_{2}}$，进而得到x2-（m1+m2）x+m1m2+n1n2=0，再根据ax2+bx+c=0，可得x2+$\frac{b}{a}$x+$\frac{c}{a}$=0，最后比较系数可得m1，n1，m2，n2与a，b，c之间的关系．

    解答 解：（1）如图所示，点D即为所求；


    （2）如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，

    根据∠AOC=∠CDB=90°，∠ACO=∠CBD，可得△AOC∽△CDB，
    ∴$\frac{AO}{CD}$=$\frac{OC}{BD}$，
    ∴$\frac{1}{5-m}$=$\frac{m}{2}$，
    ∴m（5-m）=2，
    ∴m2-5m+2=0，
    ∴m是方程x2-5x+2=0的实数根；

    （3）方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为
    x2+$\frac{b}{a}$x+$\frac{c}{a}$=0，
    模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（-$\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$）或A（0，$\frac{1}{a}$），B（-$\frac{b}{a}$，c）等；

    （4）如图，P（m1，n1），Q（m2，n2），

    设方程的根为x，根据三角形相似可得$\frac{{n}_{1}}{x-{m}_{1}}$=$\frac{{m}_{2}-x}{{n}_{2}}$，
    上式可化为x2-（m1+m2）x+m1m2+n1n2=0，
    又∵ax2+bx+c=0，即x2+$\frac{b}{a}$x+$\frac{c}{a}$=0，
    ∴比较系数可得m1+m2=-$\frac{b}{a}$，
    m1m2+n1n2=$\frac{c}{a}$．

    点评 本题属于三角形综合题，主要考查的是一元二次方程的解，相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，列出比例式并转化为等积式．

    练习册系列答案
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    19．将两个等腰Rt△ADE，Rt△ABC（其中∠DAE=∠ABC=90°，AB=BC，AD=AE）如图放置在一起，点E在AB上，AC与DE交于点H，连接BH、CE，且∠BCE=15°，下列结论：
    ①AC垂直平分DE；
    ②CDE为等边三角形；
    ③tan∠BCD=$\frac{AB}{BE}$；
    ④$\frac{{S}_{△EBC}}{{S}_{△EHC}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
    正确的结论是（　　）
    A．只有①②B．只有③④C．只有①②④D．①②③④

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    （3）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由；
    （4）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，-2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而增大时所对应的自变量x的取值范围．

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    14．小明在投篮训练中作了大量的统计，得到自己投中的概率为0.6，则小明在一次训练中投了50次，他投中的次数在30次左右．

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