Question

8．如图，将边长为2cm的正方形绕其中心旋转45°，则两个正方形公共部分（阴影部分）的面积为（8$\sqrt{2}$-8）cm²．

Answer 1

分析 如图，设正方形的中心点为O，利用正方形的性质得∠OMC=∠OCM，∠OMB=∠OCB=45°，则∠BMC=∠BCM，所以BM=BC，再根据旋转的性质得∠ABM=∠CBD=45°，于是可判断△ABM和△BCD为全等的等腰直角三角形，所以AB=BD，同理可得AF=AB，AE=AM=BC，设BC=x，则AE=x，BD=$\sqrt{2}$x，AB=AF=$\sqrt{2}$x，利用正方形的边长为2得x+$\sqrt{2}$x+x=2，解得x=2-$\sqrt{2}$，然后利用正方形的面积减去4个三角形的面积即可得到两个正方形公共部分（阴影部分）的面积．

解答 解：如图，设正方形的中心点为O，
∵点M和点C到正方形的中心的距离相等，即OM=OC，
∴∠OMC=∠OCM，
而∠OMB=∠OCB=45°，
∴∠BMC=∠BCM，
∴BM=BC，
∵正方形绕其中心旋转45°，
∴∠ABM=∠CBD=45°，
∴△ABM和△BCD为全等的等腰直角三角形，
∴AB=BD，
同理可得AF=AB，AE=AM=BC，
设BC=x，则AE=x，BD=$\sqrt{2}$x，
∴AB=AF=$\sqrt{2}$x，
∵AE+AB+BC=2，
∴x+$\sqrt{2}$x+x=2，解得x=2-$\sqrt{2}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$•（2-$\sqrt{2}$）²=3-2$\sqrt{2}$，
∴两个正方形公共部分（阴影部分）的面积=2²-4×（3-2$\sqrt{2}$）=（8$\sqrt{2}$-8）cm²．
故答案为（8$\sqrt{2}$-8）．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．