Question

如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点E，∠ABC=∠CAD=90°，AE=EC，在下列结论中，正确的有

 

．（填写序号）
①AE=BE；②BE＜DE；③△AED的面积=△BEC的面积；④∠EBC=∠ECB．⑤AB∥CD．

Answer 1

分析：根据直角三角形的斜边的中线即可判断①；根据在一个三角形中，大边对大角即可判断②；根据等底等高的面积相等即可求出③；根据等腰三角形的性质即可得到④，根据平行线的判定即可判断⑤．

解答：解：①∵∠ABC=90°，AE=EC，
∴BE=

1

2

AC=AE，∴①正确；
②∵∠CAD=90°，∴∠CAD＞∠ADE，
即：AE＜DE，∵EA=BE，∴②正确；
③△AEB的面积=△BEC的面积，而BE＜DE，
∴△AED的面积≠△BEC的面积，∴③错误；
④∵∠ABC=90°，AE=EC，
∴BE=

1

2

AC=AE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，∴④正确；
⑤∵△AED的面积≠△BEC的面积，
∴△ABD的面积≠△ABC的面积，又两三角形的底边为AB，
∴两三角形的高不相等，
若DC与AB平行，根据平行线间的距离相等可得两三角形AB边上的高相等，矛盾，
∴DC与AB不平行，即⑤错误．
正确有①②④，
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点，解此题的关键是能运用这些性质进行判断．题型较好，综合性强．