Question

抛物线y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x₁，0），N（x₂，0），且经过点A（0，1），其中0＜x₁＜x₂．过点A的直线l与x轴交于点C，与抛物线交于点B（异于点A），满足△CAN是等腰直角三角形，且S_△BMN=S_△AMN．求该抛物线的解析式________．

Answer 1

y=4x²-5x+1
分析：由点A（0，1）及△CAN是等腰直角三角形，可知C（-1，0），N（1，0），由A、C两点坐标可求直线AB，由S_△BMN=S_△AMN，可知B点纵坐标为，代入直线AB解析式可求B点横坐标，将A、B、N三点坐标代入y=ax²+bx+c中，可求抛物线解析式．
解答：解：如图，由抛物线经过A（0，1），M（x₁，0），N（x₂，0），
其中0＜x₁＜x₂，
可知抛物线开口向上，与x轴两交点在正半轴，
∵点A（0，1），△CAN是等腰直角三角形，∴C（-1，0），N（1，0），
设直线AB解析式为y=mx+n，
将A、C两点坐标代入，得，解得，
直线AB解析式为y=x+1，
∵S_△BMN=S_△AMN，两三角形同底MN，△AMN的高为1，
∴△BMN的高为，即B点纵坐标为，把y=代入y=x+1中，得x=，
即B（，），
把A、B、N三点坐标代入y=ax²+bx+c中，得
，
解得，
所以，抛物线解析式为y=4x²-5x+1，
故答案为：y=4x²-5x+1．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件判断抛物线开口方向及大致位置，根据特殊三角形求直线解析式，根据面积法求B点坐标，运用待定系数法求抛物线解析式．