Question

已知在△ABC中，∠BAC=90°，AC=4，BC=，若点D、E、F分别为AB、BC、AC边的中点，点P为AB边上的一个动点（且不与点A、B重合），PQ∥AC，且交BC于点Q，以PQ为一边在点B的异侧作正方形PQMN，设正方形PQMN与矩形ADEF的公共部分的面积为S，BP的长为x，试求S与x之间的函数关系式．

Answer 1

解：根据AC，BC的长，可在直角三角形中求出AB=8，那么DE=2，AD=BD=4，要分四种情况进行讨论：
①当N在D点或D点左侧时，即0＜x≤时，此时正方形与矩形没有重合，因此S=0
②当N在D点右侧，而P点在D点左侧时，即＜x≤4，此时正方形与矩形重合的面积应该是以DN为长，NM为宽的矩形，DN=PN-PD=PN-（BD-BP）=x-（4-x）=x-4，而NM=PQ=x，因此重合部分的面积应该是S=（x-4）×x=x²-2x
③当P在D点右侧，而N点在A点左侧时，即4＜x≤时，此时正方形重合部分的面积应该是以正方形边长为长，DE为宽的矩形的面积，PN=x，DE=2，因此此时重合部分的面积是S=x×2=x
④当P在A左侧，而N点在BA延长线上时，即＜x＜8时，此时重合部分的面积应该是以DE长为宽，PA长为长的矩形的面积．AP=AB-BP=8-x，AF=DE=2，因此此时重合部分的面积应该是S=（8-x）×2=16-2x．
分析：根据AC，BC的长，可在直角三角形中求出AB=8，那么DE=2，AD=BD=4，要分①当N在D点或D点左侧；②当N在D点右侧，而P点在D点左侧；③当P在D点右侧；④当P在A左侧四种情况进行讨论．
点评：本题主要考查了中位线定理以及相似三角形的应用等知识点，本题要根据正方形所处的位置不同进行分类讨论，不要漏解．