Question

某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE=MN．准备在形如Rt△MEH的四个全等三角形内种植黄色花草，在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植红色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：

品  种	红色花草	黄色花草	紫色花草
价格（元/米2）	60	80	120

设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为W元，解答下列问题：
（1）S与x之间的函数关系式为S=

 

；
（2）求W与x之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；
（3）当买花草所需的费用最低时，求EM的长．

Answer 1

分析：（1）依题意可知S=EH²，又EH²=AE²+AH²，代入数据可得S=x²+（4-x）²
（2）由二次函数的性质，通过配方的方法求得最大值
（3）根据相关关系列出方程，解方程即可得出答案

解答：解：（1）由分析（1）可得答案
S=x²+（4-x）²或2x²-8x+16．（2分）

（2）W=60×4S_△AEH+80（S_{正方形EFGH}-S_{正方形MNPQ}）+120S_{正方形MNPQ}
=60×4×

1

2

x（4-x）+80[x²+（4-x）²-x²]+120x²（4分）
=80x²-160x+1280．（5分）
配方得W=80（x-1）²+1200．（6分）
∴当x=1时，W_最小值=1200元．（7分）

（3）因为四个黄颜色的直角三角形全等，所以EM=QH，
设EM=a米，则MH=MQ+QH=MQ+EM=（a+1）米．
在Rt△EMH中，a²+（a+1）²=1²+3²，
解得a=

-1± 19

2

∵a＞0
∴a=

19 -1

2

∴EM的长为

19 -1

2

米．（10分）

点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比较简单．