Question

如果f（x）=x²+x，证明方程4f（a）=f（b）无正整数解a，b．

Answer 1

分析：首先根据已知得到：4a²+4a=b²+b，然后分别将方程左右两边配方，即可知有一个为正整数时，另一个为无理数，则问题得证．

解答：解：∵f（x）=x²+x，
又∵4f（a）=f（b），
∴4（a²+a）=b²+b，
∴4a²+4a=b²+b，
∴（2a+1）²=b²+b+1，
∴2a+1=±

b2+b+1

，
若b是正整数，
∵b²+b+1不是完全平方式，
∴

b2+b+1

是无理数，
同理：b+

1

2

=±

4a2+4a+ 1 4

，
若a是正整数，
∵4a²+4a+

1

4

不是完全平方数，
∴

4a2+4a+ 1 4

是无理数，
∴方程4f（a）=f（b）无正整数解a，b．

点评：此题考查了一元二次方程的整数根与无理根的知识．解题的关键是配方知识的应用．